Ακολούθησε τους αριθμούς, αποκρυπτογράφησε τη λογική και δοκίμασε τα όρια της παρατηρητικότητάς σου! Οι αριθμητικές ακολουθίες δεν είναι απλώς μαθηματικοί γρίφοι, αλλά μικρές προκλήσεις σκέψεις που ακονίζουν το μυαλό, ενισχύουν την αναλυτική ικανότητα και σε προετοιμάζουν για απαιτητικές εξετάσεις όπως του ΑΣΕΠ.
Μεταξύ των ερωτημάτων αριθμητικού συλλογισμού που έχει παρουσιάσει μέχρι σήμερα το ΑΣΕΠ ως ενδεικτικά, συγκαταλέγονται και οι ακολουθίες.
Τα ερωτήματα αυτά απαιτούν γρήγορη σκέψη και καλή κατανόηση βασικών μαθηματικών κανόνων, καθώς αποτελούν σημαντικό κριτήριο για την επιτυχή επίδοση.
Παρακάτω θα βρείτε δύο παραδείγματα του ΑΣΕΠ για τις ακολουθίες, το ένα ήταν όταν οι εξετάσεις γινόντουσαν δια ζώσης και το άλλο ηλεκτρονικά με ραντεβού:
1ο παράδειγμα ακολουθίας του ΑΣΕΠ από τον 1ο Γραπτό Πανελλήνιο 2Γ/2022:
Επεξήγηση σωστής απάντησης: 5, 5+5 = 10, 10+5 = 15, 15+5 = 20, 20+5 = 25.
2ο παράδειγμα ακολουθίας του ΑΣΕΠ από τον 1Γ/2024 (ΤΕ Δασοπονίας):
Στο ανωτέρω παράδειγμα, η σωστή απάντηση είναι το Β, δηλαδή 110.
Επεξήγηση σωστής απάντησης: Για να βρούμε ποιος αριθμός συμπληρώνει ορθά τη σειρά και αντικαθιστά το ερωτηματικό (?), το οποίο, σε αυτήν την περίπτωση, βρίσκεται στο τέλος της σειράς, χρειάζεται να αναγνωρίσουμε τις μαθηματικές σχέσεις μεταξύ των προηγούμενων αριθμών, θεωρώντας τη σειρά από τα αριστερά προς τα δεξιά: 10, 20, 25, 50, 55, ?. Μελετώντας αυτήν την ακολουθία αριθμών, καταλαβαίνουμε ότι οι αριθμοί αλλάζουν σύμφωνα με το εξής μοτίβο: 10 Χ 2 = 20, 20 + 5 = 25, 25 Χ 2 = 50, 50 + 5 = 55, 55 Χ 2 = 110.
Μια αριθμητική ακολουθία είναι μια σειρά αριθμών που διέπεται από ένα συγκεκριμένο μοτίβο, όπως αριθμητική πρόοδος, γεωμετρική πρόοδος κ.λπ. Αυτά τα ερωτήματα αριθμητικών ακολουθιών με λύσεις είναι προσεκτικά σχεδιασμένα ώστε να δοκιμάζουν την ικανότητά σας στην αναγνώριση προτύπων.
Το πρώτο βήμα για την επίλυση μιας αριθμητικής ακολουθίας είναι ο εντοπισμός του μοτίβου στη δοθείσα σειρά. Τα μοτίβα αναφέρονται σε ακολουθίες που επαναλαμβάνονται με συγκεκριμένο τρόπο. Αφού το αναγνωρίσετε, μπορείτε να το χρησιμοποιήσετε για να συνεχίσετε τη σειρά ή να βρείτε τους αριθμούς που λείπουν.
Παράδειγμα:
Παρατηρούμε ότι κάθε φορά αφαιρείται το 5, άρα το μοτίβο είναι η αφαίρεση. Εφαρμόζοντας τον κανόνα, ο επόμενος αριθμός είναι ο 25.
Σύμφωνα με την αριθμητική πρόοδο, ο επόμενος όρος στην ακολουθία θα προκύπτει προσθέτοντας μια σταθερή διαφορά στον προηγούμενο.
Παράδειγμα:
Η κοινή διαφορά είναι το 3: 3+3=6, 6+3=9, 9+3=12, 12+3=15, 15+3=18. Άρα, η απάντηση στο ερωτηματικό είναι το 18.
Αντίθετα, σύμφωνα με την γεωμετρική πρόοδο, ο επόμενος όρος στην ακολουθία θα προκύπτει πολλαπλασιάζοντας με έναν σταθερό λόγο.
Παράδειγμα:
Εδώ, ο κοινός λόγος είναι το 3: 2, 2Χ3=6, 6Χ3=18, 18Χ3=54, 54Χ3=162, 162Χ3=486. Άρα, η απάντηση στο ερωτηματικό είναι το 486.
Ωστόσο, οι μικτές ακολουθίες αριθμών έχουν ιδιαίτερη σημασία, καθώς εμφανίζονται συχνά σε εξετάσεις. Μπορεί να περιλαμβάνουν συνδυασμό πράξεων, αριθμητικών ή γεωμετρικών προόδων. Για την αποκωδικοποίησή τους βοηθά η μέθοδος των διαφορών ή διπλών διαφορών, που επιτρέπει την αναγνώριση του υποκείμενου μοτίβου.
Τέσσερις βασικοί τρόποι για την επίλυση αριθμητικών ακολουθιών είναι οι εξής: αρχικά, η παρατήρηση των διαφορών μεταξύ διαδοχικών όρων, ώστε αν αυτές παρουσιάζουν σταθερό μοτίβο να διαπιστωθεί ότι πρόκειται για αριθμητική σειρά, αν οι διαφορές δεν είναι εμφανείς, μπορεί να εφαρμοστεί η μέθοδος της σταθερής διαίρεσης, δηλαδή η διαίρεση κάθε όρου με τον προηγούμενό του, ώστε να εντοπιστεί ενδεχόμενη γεωμετρική πρόοδος, επίσης, η παραγοντοποίηση των όρων σε γινόμενο δύο παραγόντων μπορεί να αποκαλύψει κρυφά μοτίβα. Τέλος, όταν οι διαφορές αυξάνονται απότομα, είναι χρήσιμο να εξεταστεί αν η σειρά σχετίζεται με τετράγωνα ή κύβους αριθμών.
Παράδειγμα:
Οι διαφορές μεταξύ των αριθμών είναι: 47-25=22, 91-47=44 και 179-91=88. Παρατηρούμε ότι η διαφορά μεταξύ τους διπλασιάζεται κάθε φορά οπότε: 88 Χ 2 = 176. Και επιλύουμε για να βρούμε το ερωτηματικό ως εξής: 179 + 176 = 355. Ο επόμενος αριθμός επομένως είναι το 355.
Σύμφωνα με τον ΑΣΕΠ αυτό το είδος ερωτημάτων αφορά στην αναγνώριση των σχέσεων αριθμών που εμφανίζονται σε μία σειρά. Σε κάθε ερώτηση πρέπει να βρίσκετε ποιος αριθμός συμπληρώνει ορθά τη σειρά και αντικαθιστά το ερωτηματικό (?). Εσείς πρέπει να εντοπίσετε τη σωστή απάντηση από τις πέντε (5) εναλλακτικές απαντήσεις που θα σας δίνονται αμέσως από κάτω και θα υποδείξετε την απάντησή σας επιλέγοντας το αντίστοιχο γράμμα Α, Β, Γ, Δ ή Ε.
Ας δούμε μαζί δέκα (10) ερωτήματα ακολουθιών, ώστε να δοκιμάσετε τις δυνάμεις σας σε αυτό το είδος ερωτημάτων αριθμητικού συλλογισμού του ΑΣΕΠ:
1. Ποιος αριθμός αντικαθιστά το ερωτηματικό στην ακολουθία;
Α. 272
Β. 284
Γ. 296
Δ. 302
Ε. Κανένα από τα παραπάνω
2. Ποιος αριθμός αντικαθιστά το ερωτηματικό στην ακολουθία;
Α. 318
Β. 330
Γ. 326
Δ. 352
Ε. Κανένα από τα παραπάνω
3. Ποιος αριθμός αντικαθιστά το ερωτηματικό στην ακολουθία;
Α. 162
Β. 174
Γ. 181
Δ. 206
Ε. Κανένα από τα παραπάνω
4. Ποιος αριθμός αντικαθιστά το ερωτηματικό στην ακολουθία;
Α. 2052
Β. 1951
Γ. 2049
Δ. 1849
Ε. 1026
5. Ποιος αριθμός αντικαθιστά το ερωτηματικό στην ακολουθία;
Α. 429
Β. 446
Γ. 452
Δ. 438
Ε. Κανένα από τα παραπάνω
6. Ποιος αριθμός αντικαθιστά το ερωτηματικό στην ακολουθία;
Α. 1680
Β. 1850
Γ. 2080
Δ. 2008
Ε. 1901
7. Ποιος αριθμός αντικαθιστά το ερωτηματικό στην ακολουθία;
Α. 550
Β. 505
Γ. 595
Δ. 575
Ε. 525
8. Ποιος αριθμός αντικαθιστά το ερωτηματικό στην ακολουθία;
Α. 109
Β. 157
Γ. 186
Δ. 212
Ε. 172
9. Ποιος αριθμός αντικαθιστά το ερωτηματικό στην ακολουθία;
Α. 549
Β. 544
Γ. 495
Δ. 594
Ε. 525
10. Ποιος αριθμός αντικαθιστά το ερωτηματικό στην ακολουθία;
Α. 532
Β. 444
Γ. 464
Δ. 524
Ε. Τίποτα από τα παραπάνω
Επεξηγήσεις ορθών απαντήσεων:
- 11 Χ 12 = 132, 12 Χ 13 = 156, 13 Χ 14 = 182, 14 Χ 15 = 210, 16 Χ 17 = 272.
- 186, 186 + 24 = 210, 210 + 48 = 258, 258 + 24 = 282, 282 + 48 = 330, 330 + 24 = 354.
- 11, 11 + 42 = 53, 53 + 40 = 93, 93 + 36 = 129, 129 + 30 = 159, 159 + 22 = 181.
- 3, 3 Χ 4 – 3 = 9, 9 Χ 4 – 3 = 33, 33 Χ 4 – 3 = 129, 129 Χ 4 – 3 = 513, 513 Χ 4 – 3 = 2049.
- 383, 383 + (8+3) = 394, 394 + (9+4) = 407, 407 + (0+7) = 414, 414 + (1+4) = 419, 419 + (1+9) = 429.
- 4, 4 Χ 6 – 6 = 18, 18 Χ 5 – 5 = 85, 85 Χ 4 – 4 = 336, 336 Χ 3 – 3 = 1005, 1005 Χ 2 – 2 = 2008.
- 9, 9 + 256 = 265, 265 + 128 = 393, 393 + 64 = 457, 457 + 32 = 489, 489 + 16 = 505.
- 7, 7+2 Χ 5 = 17, 17+3 Χ 6 = 35, 35+4 Χ 7 = 63, 63+5 Χ 8 = 103, 103+6 Χ 9 = 157.
- 52 Χ 1 – 1 = 24, 62 Χ 2 – 2 = 70, 72 Χ 3 – 3 = 144, 82 Χ 4 – 4 = 252, 92 Χ 5 – 5 = 400, 102 Χ 6 – 6 = 594.
- 2048, 2048 : 4 + 4 = 516, 516 Χ 2 = 1032, 1032 : 4 + 4 = 262, 262 Χ 2 = 524, 524 : 4 + 4 = 135, 135 Χ 2 = 270.
